Сегодня решаем 14 задачу с сайта math100.ru, 281 вариант. Вот условие задачи
В правильной треугольной призме \(ABC A_{1}B_{1}C_{1} \) на серединах рёбер \( A_{1}C_{1} \) и BC отмечены точки
M и N соответственно.
а)Докажите, что плоскость\( AB_{1} \)M делит отрезок\( A_{1}N \) отношении 2 : 3, считая от вершины \( A_{1} \)
б)Найдите объём пирамиды \( AMNB_{1} \), если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 4.
Давайте решать.
Не всегда нужно строить перпендикуляры, но вычислять их длины нужно.
Первый пункт относительно легко доказывается, если увидеть подобные треугольники.
Необходимо построить вспомогательную плоскость и найти пересечение двух плоскостей.
вот и все
Пункт а сделан
теперь б) он посложнее
В чем сложность. Непонятно куда будет проецироваться точка \( B_{1} \). Поэтому воспользуемся методом объёмов.
Найдем длину перпендикуляра через равенство объёмов треугольных пирамид. Для начала построим сечение плоскостью AMN. Делаем это методом следов
Как видим сечение плоскостью AMN будет трапеция, у которой можно увидеть три вершины на одной грани ( на A1 B1 C1).
Ну, что ж ищем объём пирамиды NMTB1
А теперь объем этой же пирамиды, но B1 — вершина, а значит высоту из точки B1 мы не знаем.
Мы нашли высоту из точки В1.
Ну и наконец, теперь уже можно посчитать объём нашей пирамиды
Вот такая задача
До новых встреч на сайте Простаяматематика.рф