Сегодня решила разобрать с вами задачу на оптимизацию. Как правило такая задача попадается на досрочных экзаменах и в различных пробниках. На основной волне пока еще не видела. Но все же я думаю эта задача вам понравится и вы не испугаетесь ее на экзамене.

Условие взяла с сайта math100.ru

Сергей является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 5 t единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 12 t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Сергей платит рабочему 400 рублей. Сергей готов выделять 608 400 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

У этой задачи есть как минимум три способа решения

Первый способ, пожалуй, самый популярный, составить функцию, значение которой нужно максимизировать.

Делается это через производную.

Найдем производную, найдем х при котором производная равна нулю и подставим в функцию

Трудоемко, но вполне решаемо

Второй способ с помощью графика

где а – это количество единиц товара, и максимум достигается при условии что прямая будет касательной к окружности:

Далее увидели прямоугольный треугольник, в котором радиус окружности – это высота к гипотенузе, найдем стороны этого треугольника

Легко? практически всегда

Третий способ

Используя график можно решить немного по-другому. Знаем, что касательная и окружность пересекаются в одной точке

Выразить у и решить квадратное уравнение. Дискриминант должен быть равен нулю.

Легко, но могут быть сложности с возведением в квадрат, если не смогли вынести за скобки

 

 

Также приглашаю в группу Телеграм и Вконтакте

Спасибо за внимание, до новых встреч